#Локальный экстремум

Локальный экстремум (от лат. extremum — «крайний») — максимальное или минимальное значение функции на заданном подмножестве области определения. Для любых значений переменной x, принадлежащих проколотой окрестности (окрестность точки, из которой исключена эта точка) внутренней точки xₘₐₓ (xₘᵢₙ), должно выполняться следующее неравенство: f(x)≤f(xₘₐₓ) для точки максимума, f(x)≥f(xₘᵢₙ) для точки минимума.

Точка, в которой экстремум достигается, называется точкой максимума или точкой минимума функции. Если знак неравенства строгий, то экстремум называется строгим локальным, а его точка — точкой строгого локального максимума или минимума.

Необходимое условие существования экстремума функции f(x) в точке x₀: производная f'(x₀)=0 либо не существует. Достаточное условие существования экстремума: функция f(x) непрерывна в некоторой окрестности точки x₀, дифференцируема в этой окрестности, кроме, может быть, самой точки x₀, и производная f'(x) меняет знак при переходе через точку x₀. Если производная меняет знак с плюса на минус, x₀ — точка максимума, если с минуса на плюс, x₀ — точка минимума.

Глобальный экстремум — наибольшее или наименьшее значение функции на заданном множестве, когда всех точек этого множества выполняется неравенство: f(x)≤f(хₘₐₓ) или соответственно f(x)≥f(хₘᵢₙ). Глобальный экстремум находится среди локальных экстремумов или значений функции в граничных точках множества.

Источник картинки: http://bit.ly/2cBEn8n