Круглый значит кубический

В честь начинающегося сегодня XXI чемпионата мира, который пройдет с 14 июня по 15 июля, сайт «Математические этюды» рассказал о геометрии разных футбольных мячей, а также о том, почему официальный мяч чемпионата — это куб, как сделать модель мяча при помощи зеркал и скотча и при чем тут телевизионный спутник. С разрешения редакции Indicator.Ru публикует материал у себя.

Классика

Поверхность классического футбольного мяча состоит из «слегка искривленных» 12 правильных пятиугольников черного цвета и 20 правильных белых шестиугольников и представляет собой многогранник, называемый усеченным икосаэдром.

Икосаэдр — один из пяти правильных многогранников. Его название происходит от древнегреческих слов εἴκοσι — «двадцать» и ἕδρον — «основание». У икосаэдра 12 вершин, 20 граней (правильных треугольников), 30 ребер.

«Отрежем» вершины икосаэдра, отступив от вершин вдоль прямых, направленных в центр, на столько, чтобы оставшиеся части граней были правильными шестиугольниками. Очевидно, что срезы будут правильными пятиугольниками. Получившаяся фигура и есть усеченный икосаэдр.

Усеченный икосаэдр — один из полуправильных многогранников. Так называются многогранники, у которых все грани — правильные многоугольники нескольких разных типов (в отличие от правильных многогранников, все грани которых — одинаковые правильные многоугольники), а все вершины устроены «одинаково», то есть многогранные углы при вершинах равны (совместимы).

При «наполнении воздухом» усеченного икосаэдра он принимает форму сферы, становится футбольным мячом. При этом вершины усеченного икосаэдра совпадут с «вершинами мяча», ребра перейдут в швы, а грани — в «слегка искривленные» многоугольники на поверхности мяча. Таким образом получится модель мяча — центральная проекция усеченного икосаэдра на сферу.

Кстати, «классическим» такой мяч был не всегда: впервые такие покрой и раскраска были использованы для официального мяча на чемпионате мира в 1970 году в Мексике. Черно-белая раскраска тогда была выбрана из соображений контрастности, чтобы мяч был лучше виден на преобладавших в то время черно–белых телевизорах. Да и само название – Telstar – он получил в честь телевизионного спутника. В последующие годы раскраска официальных мячей менялась, но покрой оставался неизменным вплоть до чемпионата 2002 года в Германии.

Зеркальная классика

Тот факт, что футбольный мяч — усеченный икосаэдр, и теория групп, порожденных отражениями (в трехмерном случае — многогранников Кокстера), позволяют сделать простую в изготовлении, но красивую модель. Для нее вам понадобятся три треугольных зеркала, изолента (скотч) для их скрепления, а также раскрашенный в два цвета равносторонний треугольник.

Следует взять зеркальный трехгранный угол, составленный из одинаковых равнобедренных треугольников. При длине основания a боковые стороны, по которым склеиваются треугольники в угол, должны иметь длину r.

Или, с хорошей точностью, r≈0,95a. Например, если взять a=10 см, то r=9,5 см. Зеркальный угол очень близок к правильному тетраэдру, но все же отличается от него.

Затратив немного времени на склеивание зеркального трехгранного угла, вы получите возможность, вложив в него раскрашенный треугольник, увидеть модель классического футбольного мяча! При покачивании модели относительно оси зрения картинка меняться не будет.

Зеркальные равнобедренные треугольники проще всего вырезать из пластика с зеркальным напылением. Если у вас нет возможности сделать модель – можете посмотреть видео.

Источник: сайт «Математические этюды»

Что же это за такой магический зеркальный угол, в котором при отражениях виден футбольный мяч (на самом деле – икосаэдр, который виден еще более явно, если вложить одноцветный треугольник)?

Зеркальный угол связан с самим икосаэдром: его вершина расположена в центре икосаэдра, а зеркала проходят через стороны одной из граней икосаэдра. Отсюда получаются и условия на стороны равнобедренных треугольников, образующих зеркальный угол. А то, что картинка в таком зеркальном угле будет икосаэдром, гарантирует теория групп, порожденных отражениями.

Современность

Как известно, сферу нельзя согнуть из плоской развертки. Поэтому какую модель мяча ни взять, ее необходимо раздувать. А можно ли придумать модель мяча, состоящую из плоских панелей, но изначально более близкую к сфере, чем классическая? Понятно, что можно взять многогранник с большим числом граней и вершин, но тогда усложнится процесс изготовления.

После 2002 года начались эксперименты, и в 2014 году, на чемпионате мира в Бразилии, состоялась премьера нового официального мяча получившего название Brazuca.

Модель этого мяча более сферическая, чем классическая. Но при этом Brazuca – это куб!

Как и куб, она собирается из шести одинаковых плоских панелей, имеющих по четыре угла, у нее восемь вершин, в каждой из которых сходится по три панели.

В модели классического мяча вся кривизна сосредоточена в конечном числе «выступающих» вершин. В Brazuca у каждой панели все четыре угла равны 120 градусам, а в вершинах модели встречаются три угла, значит, сумма углов вокруг нее равна 360 градусов: поверхность мяча вокруг вершины будет «плоской».

Куда же делась кривизна? В модели Brazuca кривизна размазана по длинным ребрам, и из–за этого она становится существенно более близкой к сфере.

Официальный мяч нашего чемпионата 2018 года тоже куб. В описанном смысле. Только, в отличие от предыдущей модели, границы панелей не кривые, а представляют из себя одинаковые плоские многоугольники.

Заметка скомпилирована из материалов сайта «Математические этюды»: 1, 2 и 3 с разрешения редакции.

Понравился материал? Добавьте Indicator.Ru в «Мои источники» Яндекс.Новостей и читайте нас чаще.

Подписывайтесь на Indicator.Ru в соцсетях: Facebook, ВКонтакте, Twitter, Telegram, Одноклассники.