«Здесь еще работы на годы»: как узлы и графы привели математиков к престижной награде

Чем теория узлов и теория графов помогают в других областях науки, почему математики не думают о денежной награде и за что они благодарят Анатолия Фоменко, в интервью Indicator.Ru рассказали лауреаты премии имени И.И. Шувалова, доценты механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова Игорь Никонов и Денис Ильютко. Награду они получили за цикл работ «Диаграммный подход в теории узлов и его приложения в теории графов».

— Расскажите, пожалуйста, чему посвящен этот цикл статей, над какими проблемами вы работали?

Игорь Никонов: Изначально мы занимаемся теорией узлов. С узлами многие сталкиваются в повседневной жизни, когда надо что-то зашнуровывать или когда во время рыбной ловли запутывается леска, и возникают узлы. Но математики работают с узлами, которые имеют важное отличие от обычных: эти узлы замкнутые. У шнурка два конца, а если мы концы соединим между собой, получится кольцо. Если оно было завязано, то его, в отличие от шнурка, мы развязать не сможем. Собственно, основная задача в работе с математическими узлами, основная проблема теории узлов — понять, можно ли развязать то, что у нас есть, этот запутанный клубок, или нельзя.

Есть разные подходы к решению этой проблемы. Изначально узел — геометрический объект, и есть геометрические подходы, представляющие узел как объект в трехмерном пространстве. А есть более алгебраический подход. Его суть в том, чтобы как-то закодировать такой объект. У него может быть сложная форма, но, если мы выберем подходящий код, возникнет более осязаемая запись. Математика тем и занимается — она записывает, кодирует какие-то непредставимые вещи, хотя бы в виде доказательств. Собственно, это и есть наш комбинаторный подход. Мы стремимся заменить геометрически многообразные объекты более дискретными, более жесткими алгебраическими структурами. Мы начинаем с узла и впоследствии переходим к такому комбинаторному объекту, как графы.

Что такое графы? Представим дорожную сеть: города и дороги между ними. «Города» абстрактно называются вершинами, «дороги» — ребрами. Такой абстрактный аналог дорожной сети называется «графы». Они более наглядные, чем узлы, и достаточно давно изучаются, для них много методов. И если удастся (собственно, у нас это получилось) установить некоторую связь между теорией узлов и теорией графов, то возникнет такой канал, используя который, можно взять то, что наработано за десятилетия, даже столетия развития теории графов, и перенести это в теорию узлов, и наоборот. Это и есть основная идея нашей работы.

— А то, что вы делаете, может пригодиться ученым в других областях науки, они могут как-то использовать эти результаты?

Денис Ильютко: Да, могут. Например, при сравнении двух молекул ДНК, используя наши методы, можно сначала закодировать объекты с помощью графов, а затем применить к полученным графам наши инварианты, которые легко могут быть запрограммированы. Если значения инварианта будут различные, то это означает, что молекулы отличаются.

И.Н.: Если довести это до практики, то выходом будет тест, который по молекуле определяет, есть аномалия (повреждения, какие-то мутации) или нет.

Д.И.: Теория узлов и теория графов находят свое применение также в физике, биологии, в гуманитарных науках. Например, при изучении солнечной короны.

— Давно ли вы занимаетесь этой темой? Как вы ее выбрали?

Д.И.: Первоначально мы занимались разными науками, защищали диссертации по другим дисциплинам геометрии. Я занимаюсь теорией узлов с 2008 года. Просто заинтересовала наука и решил попробовать.

И.Н.: Здесь нельзя не упомянуть нашего коллегу Василия Мантурова. Он был моим однокурсником, еще со студенческих времен занимался теорией узлов и организовал вместе с Валерием Трофимовым семинар по теории узлов в Московском университете. Так получилось, что мы с ним общались, и он заинтересовал своей темой Дениса, потом меня, мы присоединились к семинару, и, собственно, наши результаты — это плоды работы этого семинара.

Д.И.: Сейчас мы вместе руководим этим семинаром. Большой вклад в развитие разрабатываемой нами тематики внес, как Игорь сказал, наш соавтор, Василий Мантуров.

И.Н.: Он наш вдохновитель, генератор идей. Результаты, которые мы получили, без его влияния не были бы получены.

— Как вы работали над этим циклом статей? Вы делили задачи между собой или все, что вы делали, было совместной работой?

Д.И.: Задач в теории узлов много, поэтому каждый выбрал себе по направлению. Перед нашим семинаром мы обсуждаем текущие проблемы, решаем, кто чем займется. Кто-то берется заниматься одной задачей, кто-то — другой, поэтому пересечений в результатах было совсем мало.

И.Н.: Пересечений не было, но обычно есть общий объект исследования, и у него очень много разных проблем, вопросов, с ним связанных. У нас один из основных объектов — граф-зацепления. После того как они были определены, возникает очень много вопросов, их хватит не то, что на двух человек, на сотню хватит. Поэтому у нас не было трудностей с тем, что мы сталкивались на одной теме. Каждый свою проблему решил, потом собрались вместе, и оказалось, что действительно какие-то результаты были наработаны.

— А какие перспективы у этой работы? Как вы будете развивать эту тему?

И.Н.: Те результаты, которые мы получили, еще далеко не исчерпывают тот список вопросов и проблем, который у нас был. Соответственно, мы будем стараться заполнять эти пробелы, решать вопросы, которые у нас возникли. Здесь на самом деле еще работы на годы.

Д.И.: Я бы сказал, на десятилетия. Можно попытаться найти многомерные аналоги. Теория узлов — наука, которая, наверно, никогда не будет закончена, то есть всегда будут возникать новые задачи и всегда будет интересно ими заниматься. Задач хватит на всех.

И.Н.: К тому же наука развивается, открываются новые области и новые проблемы.

— Что значит для вас эта премия, что она дает лауреатам? Это денежное вознаграждение, но еще и сама по себе крупная награда.

Д.И.: О денежном вознаграждении мы и не думали. Думаю, что для большинства математиков денежное вознаграждение стоит не на первом месте.

Премия имеет большое значение, все-таки это главная награда МГУ для молодых ученых. Приятно, что твоя работа, твои результаты были так оценены высшим руководством, Ученым советом МГУ.

И.Н.: Я вижу в этом некое признание наших достижений и той темы, которой мы занимаемся, на уровне Московского университета. И это очень приятно.

Д.И.: Мы благодарны всей нашей кафедре дифференциальной геометрии и приложений и в особенности заведующему кафедрой академику Анатолию Тимофеевичу Фоменко, который наш цикл работ выдвинул от кафедры и во всем нас поддерживал.

И.Н.: …с самых студенческих времен. У нас была и есть хорошая атмосфера на кафедре, плодотворная — это благодаря нашему заведующему.

Подписывайтесь на Indicator.Ru в соцсетях: Facebook, ВКонтакте, Twitter, Telegram, Одноклассники.