Математика и Computer Science

Математики использовали новый подход к решению задач механики разрушения

422737/Pixabay

Доцент механико-математического факультета МГУ Анатолий Вершинин с коллегами представил подход к вычислению J-интеграла для решения задач механики разрушения как для упругих, так и для упруго-пластических трещин с использованием метода эквивалентного объемного интегрирования. Статья опубликована в высокорейтинговом журнале Advances in Engineering Software.

Энергетический J-интеграл — это обобщённая функция выделения энергии за счёт распространения трещины в материале.

«Энергетический J-интеграл является универсальным параметром механики разрушения, который может быть использован как в упругих так и в упруго-пластических задачах механики разрушения. В данной работе представлен подход к вычислению J-интеграла, предполагающий полную независимость интегрирования от сетки конечных элементов», — говорит Анатолий Вершинин, кандидат физико-метематических наук, доцент кафедры вычислительной механики механико-математического факультета МГУ.

Работа велась совместно с коллегами из Сколково (Россия) и университета Техаса в Арлингтоне (США). Ученые использовали метод конечных элементов для вычисления параметров напряженно-деформированного состояния в окрестности фронта трещины на сетке, состоящей из элементов смешанного типа. Метод эквивалентного объемного интегрирования (ЭОИ) позволяет получить значения J-интеграла с большей точностью. В этом методе интеграл по малому контуру, преобразуется в объемный интеграл, содержащий специальную весовую функцию с нулевым значением на внешней границе области.

Отличительная особенность рассмотренного в статье подхода к вычислению объемного J-интеграла состоит в использовании метода подвижных наименьших квадратов (MLS) с весами для аппроксимации перемещений и их производных. Для аппроксимации значения в текущей точке выбираются некоторые соседние узлы внутри сферы. Размер сферы связан с размером элемента, внутри которого расположена точка. Коэффициенты интенсивности напряжений для задач смешанного типа были получены при помощи методики интеграла взаимодействия.

Недавние работы по применению метода ЭОИ в трехмерных задачах механики разрушения смешанного типа в основном базируются на методе интеграла взаимодействия, где коэффициенты интенсивности напряжений вычисляются непосредственно из интенсивности освобождения энергий, полученных путем объединения конечноэлементных решений с упругими асимптотическими полями для трещин разного типа (I, II и III).

«Метод интеграла взаимодействия обеспечивает некоторые вычислительные преимущества, но он ограничен только упругими задачами. В то же время, энергетический J-интеграл применим к оценке целостности как упругих так и упруго-пластических конструкций. Критерий разрушения может быть сформулирован в терминах J-интеграла для задач о симметричных трещинах и трещинах смешанного типа. В нашем алгоритме эквивалентного объемного интегрирования компоненты J1 и J2 вычисляются в форме, подходящей для упругих и упруго-пластических трещин. Если необходимы упругиe коэффициенты интенсивности напряжений, они определяются с использованием компонентов J-интеграла и интенсивности освобождения энергии III типа», — рассказывает Анатолий Вершинин.