Математики применили новый подход к доказательству гипотезы Римана

Исследователи решили проблему критерия Поля — Йенсена для каждой степени d≥1 и больших сдвигов переменной n, который был разработан для подтверждения гипотезы Римана. Результаты приблизили ученых на шаг к доказательству одной из семи задач тысячелетия и были опубликованы в PNAS.

«Метод удивительно универсален и в то же время его доказательство легко понять. Одни из самых красивых идей в математике — это те, которые потребовали много времени, чтобы осознать, но как только вы их разобрали, они кажутся простыми и ясными», — подчеркнул один из соавторов статьи Ларри Ролен.

Если число имеет только два делителя — само себя и единицу, то его называют простым. Хотя никакой закономерности, которая бы описывала, как часто в числовом ряду появляются простые числа, найти не удалось, гипотеза Римана — одна из задач тысячелетия, оцененных институтом Клэя в миллион долларов, — позволяет предположить таковую. Немецкий математик Бернхард Риман в 1859 году первым заметил, что распределение простых чисел тесно связано с нулями аналитической дзета-функции. Математически гипотеза звучит так: «Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную ½».

В 1927 году Иоган Йенсен и Джордж Поль сформулировали критерий, подтверждающий гипотезу Римана. Проблема самого критерия — установление гиперболичности полиномов Поля — Йенсена — состоит в его бесконечности. В течение последних 90 лет лишь небольшая часть полиномов были проверены на гиперболичность, после чего математики отказались от подхода как от слишком медленного и громоздкого.

На конференции, посвященной его 65-летию, профессор Математического института Макса Планка Дон Загье получил подарок в виде «игрушечной» версии этой проблемы. Загье описал подарок как «милую проблему об асимптотическом поведении некоторых многочленов, включающих функцию разбиения Эйлера», которая является его давней страстью. Однако Загье нашел проблему неподатливой и был удивлен, когда подаривший идею Кен Оно, теоретик чисел Университета Эмори, обнаружил решение и предложил развить его в общую теорию.

Авторы статьи разработали концептуальную основу, объединив полиномы по степеням. Метод доказательства основан на недавно обнаруженном явлении — эти многочлены хорошо аппроксимируются полиномами Эрмита. Применив формулу, математики смогли проверить критерий Поля — Йенсена для каждой степени d≥1 и больших сдвигов переменной n. Кроме того, решение может найти применение в большой группе связанных проблем.

Тем не менее, результаты исследования не исключают возможность того, что гипотеза Римана является ложной и до полного ее доказательства еще далеко.

Понравился материал? Добавьте Indicator.Ru в «Мои источники» Яндекс.Новостей и читайте нас чаще.