Ученые объяснили поведение хаотических систем

Исследователи Научно-учебной лаборатории моделирования и управления сложными системами ВШЭ предложили недостающую составляющую механизма самоорганизованной критичности, которая позволяет воспроизвести степенные закономерности, наблюдаемые в реальном мире. По мнению ученых, это приближает нас к пониманию того, как возникают землетрясения, распространяются лесные пожары, работают финансовые рынки и социальные сети. Результаты исследования опубликованы в журнале Scientific Reports. Исследование проведено при поддержке Российского научного фонда.

Сложные системы окружают нас повсюду. Начиная от процессов на микроскопических расстояниях в человеческом мозге и заканчивая крупномасштабными потоками воды в Мировом океане, наука может описать состояние каждого отдельного куска системы, но гораздо сложнее описать ее поведение в целом. В сложных системах взаимодействие отдельных подструктур между собой оказывается настолько сложным, что система целиком приобретает совершенно новые и неожиданные свойства, не сводимые к свойствам отдельных частей.

Контролируя такие параметры, как температура или намагничивание, можно провести сложную систему через критическую точку — осуществить фазовый переход. При фазовом переходе принципиально меняются базовые свойства системы: например, вода переходит из жидкого состояния в пар, а металл плавится и превращается в жидкость. Собственно критическая точка характеризуется степенными закономерностями. Однако существуют различные примеры процессов и систем, которые характеризуются степенными законами, возникшими без какой-либо настройки: сейсмическая активность с разрушительными землетрясениями, нейронные и социальные сети, финансовые рынки, лесные пожары и др.

В 1987 году ученые Бак, Танг и Визенфельд открыли явление самоорганизованной критичности, построив механизм, который объясняет, как система достигает критического состояния без настройки каких-либо параметров. Их модель, которую называют «кучей песка» (sandpile) или моделью БТВ, реализована на квадратной решетке, на которую падают песчинки. Как только создается локально большая куча песчинок, возникает лавина: песчинки заполняют «ямы» и выпадают из решетки при достижении края. При этом вне зависимости от порядка обвалов система приходит в одно и то же конечное состояние. На рисунке показана лавина, начинающаяся при появлении в клетке четырех песчинок, которые передаются в четыре соседние клетки — по одной каждому из соседей. Затем новые «четверки» распространяются по тому же правилу. На прилагаемом видео можно посмотреть эволюцию модели на решетке 16х16; чем темнее клетка, тем больше в ней песчинок. Открытие самоорганизованной критичности оказало огромное влияние на развитие целых областей статистической физики, биофизики, астрофизики, оптимизации и топологии.

Разумеется, можно предложить сколько угодно реализаций механизма БТВ. Однако среди широкого класса моделей удается достичь лишь малого количества степенных законов, возникающих в критическом состоянии. Эта удивительная устойчивость показателей степенных законов затрудняет применение моделей самоорганизованной критичности к реальным задачам.

В работе, опубликованной в журнале Scientific Reports, исследователям Научно-учебной лаборатории моделирования и управления сложными системами удалось предложить механизм, который позволяет изменять показатель степенных законов, в частности сделать его равным единице.

«Показатель, равный единице, давно привлекал внимание исследователей своей простотой, граничащей с изяществом. На него велась определенная охота, которая наконец завершилась. Предложенный механизм реализует фундаментальное свойство наблюдаемых систем — кластеризацию событий в пространстве и времени. Потому естественно думать, что он оказывается востребованным в приложениях, закладывая основу для будущих исследований», — комментирует один из соавторов работы, профессор факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ Александр Шаповал.