Математики использовали идеи XIX века для улучшения современных систем компьютерной алгебры

Математики РУДН дополняют функционал системы компьютерной алгебры Sage новыми возможностями, касающимися символьного интегрирования. При этом были реализованы идеи и методы немецкого математика Карла Вейерштрасса, созданные еще в 1870-х годах. Результаты опубликованы в Journal of Symbolic Computation.

Первая компьютерная программа, которая может вычислять интегралы от элементарных функций, была создана в конце 1950-х годов. Тогда разработчики показали, что компьютер можно использовать не только как арифмометр, но и для задач, решение которых требует «размышлений». Пример такой задачи — интегрирование в символьном виде, то есть не с конкретными цифрами, а в буквенных, абстрактных обозначениях. Однако тогда же стало ясно, что ни человек, ни компьютер не в состоянии на основе методов, изучаемых в университетском курсе анализа, выяснить за конечное число действий, берется ли заданный интеграл в элементарных функциях, или нет. Поэтому в 1960-е годы к разработке символьных интеграторов были привлечены методы, разработанные Лиувиллем еще в 1830-х годах, и тем самым начат процесс освоения классического наследия в компьютерных науках.

Одним из наиболее тонких мест в разработке интеграторов оказалось вычисление первообразных от алгебраических функций. Интегрирование алгебраических функций, или абелевых интегралов, является одной из тех задач, которые до Первой мировой войны казались важнейшими, а после нее были прочно забыты. «Существующие системы компьютерной алгебры в состоянии удовлетворить самые экзотические запросы студентов, обучающихся математическому анализу. Однако в то же время далеко не всегда эти системы распознают интегралы, которые берутся в элементарных функциях. Есть несколько пакетов для интегрирования алгебраических функций или с абелевыми интегралами, но их развитие остановилось лет 15 назад, а функционал остается весьма и весьма скромным», — говорит доктор физико-математических наук Михаил Малых, доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН. Именно этому сложному вопросу посвящена статья математиков.

Одна из теорий в этой области, созданная 1870-х годах немецким математиком Карлом Вейерштрассом, сводит вычисление интеграла от алгебраической функции к вычислению некоторого набора известных интегралов всего трех типов. Исходный интеграл представляется в виде суммы стандартных интегралов — эта конструкция называется нормальной формой абелева интеграла. Математики РУДН доказали, что такое представление позволяет сразу определить, можно ли заданный интеграл посчитать в элементарных функциях. Чтобы проверить теоретические выкладки, математики протестировали их на примере простейших эллиптических интегралов. Проверку провели с помощью программного пакета, который математики представили в 2017 году, — он позволяет вычислять коэффициенты нормальной формы интеграла. В дальнейшем математики надеются провести аналогичные исследования для более широкого класса интегралов.

«Результаты этой работы являются лишь шагом на пути амбициозной задачи: перевести вейерштрассовскую теорию абелевых интегралов и функций на язык компьютерной алгебры и реализовать ее в свободной системе компьютерной алгебры Sage, открыв доступ к ней для всех исследователей во всем мире», — поясняет Малых.

Понравился материал? Добавьте Indicator.Ru в «Мои источники» Яндекс.Новостей и читайте нас чаще.