Математик: после открытия лауреата премии Абеля пришлось переписать многие учебники

Французский ученый Ив Мейер получил премию Абеля за 2017 год. Он был награжден «за ключевую роль в развитии математической теории вейвлетов». О присуждении престижной награды, которую сравнивают с Нобелевской премией, но для математиков, 21 марта в Осло объявил президент Норвежской академии наук Оле Сейерстед. Вручение состоится 23 мая, и лауреат получит свою награду из рук Его Величества короля Норвегии Харальда V.

Ив Мейер внес вклад в развитие нескольких направлений математики, как полностью теоретической, так и прикладной. В 1970-х он работал в области теории операторов Кальдерона — Зигмунда, он является автором работ по квазикристаллам, теории чисел, дифференциальным уравнениям с частными производными и математическим аспектам решения уравнения Навье — Стокса, описывающего движение жидкости. Сам он называет себя «кочевником», имея в виду количество разнообразных тем, с которыми он работал, и невозможность оставаться на одной позиции долгое время.

Но наибольшее признание научного сообщества ему принесли основопологающие работы в области вейвлет-анализа. С помощью вейвлетов можно охарактеризовать сложный сигнал, выделить составляющие его гармоники или определить точное время возникновения некоторой особенности (например, появления новой гармоники).

Самым распространенным способом анализировать сигналы является преобразование Фурье или гармонический анализ. Фурье-анализ позволяет разложить сигнал или функцию на простые синусоидальные или косинусоидальные компоненты. Они обладают конкретной частотой, но не ограничены во времени. Вейвлет-анализ позволяет провести декомпозицию на составляющие, ограниченные как по частоте, так и по времени. Таким образом, вейвлеты, в отличие от преобразования Фурье, позволяют получить точную привязку спектра особенностей сигнала ко времени. Еще одной отличительной чертой является увеличение спектрального разрешения с ростом частоты, в то время как стандартный фурье-анализ обладает постоянным разрешением — это свойство называется кратномасштабностью.

Вейвлетами называются те функции, на которые происходит декомпозиция. Таких функций достаточно много, что вызвано как различиями в применениях, так и чисто математическим интересом. Как с практической, так и с теоретической точек зрения наиболее удобно рассматривать вейвлеты со следующими свойствами: это измеримые функции, абсолютно и квадратично интегрируемые, на бесконечности тождественно равные нулю (зачастую равные нулю вне конечной области), обладающие нулевым средним и единичной квадратичной нормой. Первое свойство означает принадлежность к определенному широкому классу функций, следующие говорят о существовании и конечности интеграла в бесконечных пределах от модуля функции и его квадрата. Нулевое среднее означает тождественную равность нулю интеграла функции, а единичность квадратичной нормы — равенство интеграла от квадрата модуля единице.

«Существует не так много примеров математических открытий, которые напрямую повлияли на общество в такой степени», — говорит коллега Мейера из Высшей Нормальной школы Париж-Сакле, прикладной математик Жан-Мишель Морел. Он добавляет, что после открытия вейвлетов учебники во многих дисциплинах пришлось переписать. «Он общался с людьми, которые даже не говорят на одном математическом языке, но у каждого из них были кусочки головоломки», — продолжает Морел. В результате появилась «красивая, ясная и общая теория», которая включала фурье-анализ в качестве частного случая, превзошла его и сделала более практичным.

Вейвлеты используются как в науке, так и в технике: они применяются для анализа и сжатия фотографий с космических аппаратов, при обработке аудио- и видеосигналов, кодирования изображений (формат JPEG2000 основан на вейвлетах), шумоподавления, определения резких границ в многомерных сигналах, численных решений дифференциальных уравнений, моделирования кривых и поверхностей, а также в любой области, где информация представлена в разреженном виде (например, данные МРТ), что позволяет ее эффективно сжимать. Даже открытие гравитационных волн обсерваторией LIGO, о котором было объявлено в 2016 году, не обошлось без применения вейвлетов.